Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. $a$ талтай зөв гурвалжны талбайг хагаслан хуваагч хамгийн богино шугамын уртыг ол.

2. Зөв олон өнцөгтийн оройнууд дээр 1, 1-ээр оршигч цэгүүд тогтмол хурдтайгаар нэг чиглэлд зэрэг хөдлөв. Тодорхой хугацааны дараа аль нэг оройд бүгд уулзсан бол өөр оройд дахин уулзахгүй гэдгийг батал.

3. $M=\{(a_1,a_2,\dots,a_n)\mid a_i=\pm1\}$ олонлог дээр
\[(a_1,\dots,a_n)(b_1,\dots,b_n)=(a_1b_1,\dots,a_nb_n)\]
гэж үйлдэл тодорхойлов. $M$-ийн $k$ элементтэй $B$ дэд олонлогийн хувьд
$|B\cup cB|\le\dfrac{k^2}{2^n}$ байх $c$ гэсэн элемент $M$-ээс олдохыг батал. Үүнд: $|A|$ нь $A$ олонлогийн элементийн тоо юм.

4. $5(xyz+x+z)=222(yz+1)$ тэгшитгэлийн натурал тоон шийдийг ол.

5. Дараах тэгшитгэл бод.
\[\left\{\dfrac{2x+1}{3}\right\}=\left\{\dfrac{3x-1}{2}\right\}\]
Үүнд: $\{a\}$ гэдэг нь $a$ тооны бутархай хэсэг юм.

6. Гүдгэр 5 өнцөгтийн хувьд $1<\dfrac{\sum d}{p}<2$ тэнцэтгэл биш биелэхийг батал. Үүнд $\sum d$ нь диагоналиудын нийлбэр, $p$ нь периметр болно. Мөн а) $\dfrac{\sum d}{p}>1.99$; б) $\dfrac{\sum d}{p}<1.01$ байх таван өнцөгтийг тус тус байгуул.