Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. $4^{18}+4^{1000}+4^n$ тоог бүтэн квадрат байлгах хамгийн их натурал тоо $n$-ийг ол.

2. Тал тус бүрийн урт ба аль нэг зэрэгцээ хоёр өнцгийнх нийлбэр өгөгдсөн дөрвөн өнцөгтийг байгуул.

3. Тус бүр нь 1 кг-аас хэтрэхгүй хэсэг чулууны нийт жин 20 кг-аас үл хэтэрнэ. 3 кг даацтай жинлүүрээр хамгийн цөөндөө хэчнээн удаа жинлэж нийт чулууны жинг мэдэж болох вэ?

4. Дурын натурал тоо $n$ бүрийн хувьд $1982^n$ ба $1982^n+2^n$ тоонууд адил оронтой гэж батал.

5. Тоо бичсэн цаасны толгойг уруу нь харуулбал $0$, $8$, $1$ гэсэн цифрүүд үл өөрчлөгдөх ба $6$, $9$ гэсэн цифрүүд бие биедээ шилжиж бусад цифрүүд утгагүй тэмдэг болон хувирна. Цаасны толгойг уруу нь харуулахад үл өөрчлөгдөх бүх $n$ оронтой тоонуудын тоог ол.

6. Тэгшитгэлийг бод.
\[\left\{
\begin{array}{l}
\tg x_1+\ctg x_1=3\tg x_2\\
\tg x_2+\ctg x_2=3\tg x_3\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
\tg x_n+\ctg x_n=3\tg x_1
\end{array}
\right.\]