Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. $0\le a\le 1\le b\le 2\le c\le 3$ нөхцөлд тохирох $a$, $b$, $c$ талуудтай гурвалжнууд дотроос хамгийн их талбайтай гурвалжныг ол.

2. $x$, $y$, $z$ нь хос хосоороо тэнцүү биш, бүхэл тоонууд бол $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$ нийлбэр $5(x-y)(x-z)(z-y)$ үржвэрт хуваагдахыг батал.

3. $a_0$, $a_1$, \dots, $a_{n-1}$, $a_n$ тоонуудын хувьд $a_0=a_n=0$ бөгөөд дурын $1 \le k \le n-1$ хувьд $a_{k+2}-2a_{k+1}+a_{k}\ge 0$ байдаг бол эдгээр $a_k$ тоонууд эерэг биш болохыг батал.

4. $\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x=1$ тэгшитгэлийг бод.

5. $K$ тойрог дээр гурван өөр $A$, $B$, $C$ цэгүүд өгчээ. $ABCD$ дөрвөн өнцөгт дотор багтсан тойрог байж болохуйцаар $K$ тойрог дээр (горьтог болон шугам хэрэглэж) дөрөв дэх $D$ цэгийг байгуул.