Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. $\{a_n\}_{n\ge 1}$ эерэг тоон дарааллын хувьд $a_1=1$ ба $n\ge 1$ үед
\begin{equation}
a_{n+1}=a_{n}+\sqrt{a_n+a_{n+1}}
\end{equation}
байв. $n \ge 1$ хувьд $b_{n} = a_{n+1}-a_{n}$ гэе.

1. $b_{n} \ge 1$ гэж харуул.
   


2. $a_{n} = {b_{n}(b_{n}-1)}/{2}$ гэж харуул.
   


3. $a_{n}$ гишүүнийг $n$-ээр илэрхийл.
   


4. $S=a_1+a_2+\dots+a_{60}$ нийлбэрийг ол.
   

2. $\Omega$ тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн диагоналиуд $N$ цэгт огтлол\-цоно. $B$ оройг дайрсан $CD$ талтай параллел шулуун $AC$ шулуунтай $E$ цэгт огтлолцоно. $D$ оройг дайрсан $BC$ талтай параллел шулуун $AC$ шулуунтай $F$ цэгт огтлолцоно. $BD$ шулуун дээр $\angle DMF=\angle MEF$ байх $M$ цэг авав. $CM$ шулуун $\Omega$ тойрогтой $L$ цэгт огтлолцох ба $BL=CD$ байв. Тэгвэл $L$, $F$, $D$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж батал.

3. Дурын бүхэл $N$ тооны хувьд $(m+n)^{2} + mn + 1 = N(m+n)$ тэгшитгэл төгсгөлгүй олон бүхэл $(m, n)$ шийдтэй гэж батал.

4. $2024 \times 2024$ хүснэгтийн $i$-р мөр $j$-р баганад $a_{ij}$ тоо бичигджээ. Мөр бүрийн хувьд $\sum_{k=1}^{2024} a_{ik}^{2} = 1$ байсан ба ялгаатай хоёр $i \ne j$ мөр бүрийн хувьд $\sum_{k = 1}^{2024} a_{ik} a_{jk} = \alpha$ байв.

$\alpha$ тоо хамгийн багадаа ямар утга авч болох вэ?